হ্যালো বন্ধুরা, আমি আজকে তোমাদের ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র সম্পর্কে বিস্তারিত জানাবো৷ জ্যামিতিতে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রকে আমরা ত্রিভুজের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু হিসেবে চিহ্নিত করি৷ এটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে মিলিয়ে যে রেখাংশ তৈরি হয় তার সঠিক মাঝামাঝি বিন্দুতে অবস্থিত থাকে৷

আমরা এই আর্টিকেলে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রের সংজ্ঞা, অবস্থান নির্ণয়ের সূত্র, তা প্রমাণ এবং এর ব্যবহারিক উদাহরণ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করবো৷ এছাড়াও, পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের অন্যান্য পদ্ধতি সম্পর্কেও আমরা জানবো৷ তাই দেরি না করে শুরু করা যাক আজকের ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নিয়ে আলোচনা৷

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রের সংজ্ঞা

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হল সেই বিন্দু যেখানে ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা (মাঝের রেখাগুলি যা শীর্ষবিন্দুগুলিকে বিপরীত পার্শ্বের মধ্যবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে) ছেদ করে। এটি ত্রিভুজের ভিতরকার একটি বিশেষ বিন্দু যা ত্রিভুজের বিভিন্ন গুণাবলীর সঙ্গে সম্পর্কিত।

যেকোন ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের সূত্রটা কী?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের জন্য একটি সহজ সূত্র হল:

• প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত পার্শ্বের মধ্যবিন্দু পর্যন্ত ভেক্টরগুলির যোগফল নিন।
• ফলাফলকে 3 দ্বারা ভাগ করুন।

গাণিতিকভাবে, এটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে:

G = (A + B + C) / 3

যেখানে G হল পরিকেন্দ্র, এবং A, B, এবং C হল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের সূত্র

যেকোন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু হলো পরিকেন্দ্র। এটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু যেখানে তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে আঁকা তিনটি রেখাখন্ড পরস্পর ছেদ করে। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের একটি সূত্র হলো –

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c হলে, পরিকেন্দ্রের নির্দেশাঙ্ক হলো –

(a^2x + b^2x + c^2x) / (a^2 + b^2 + c^2), (a^2y + b^2y + c^2y) / (a^2 + b^2 + c^2)

এখানে x এবং y হলো পরিকেন্দ্রের x এবং y অক্ষের উপর অবস্থান।

যেমন, যদি কোন ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 3, 4 এবং 5 একক হয়, তাহলে পরিকেন্দ্রের নির্দেশাঙ্ক হবে –

(3^2x + 4^2x + 5^2x) / (3^2 + 4^2 + 5^2), (3^2y + 4^2y + 5^2y) / (3^2 + 4^2 + 5^2)

= (9x + 16x + 25x) / (9 + 16 + 25), (9y + 16y + 25y) / (9 + 16 + 25)

= 50x / 50, 50y / 50

= x, y

অর্থাৎ এই ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রটি x-অক্ষ এবং y-অক্ষের উপর 1 একক দূরত্বে অবস্থিত।

প্রমাণ

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের সূত্রটি জানা অনেক সময়েই আমাদের প্রয়োজন হতে পারে। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলতে আমরা কি বুঝি? ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুগুলোকে সংযুক্তকারী রেখাংশগুলোর ছেদবিন্দুকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলা হয়। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রকে সাধারণত ‘G’ অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ত্রিভুজের যেকোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে পরিকেন্দ্রের সঙ্গে যদি সংযুক্ত করা হয় তবে এটি ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর সমান্তরাল হবে।

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের একটি সূত্র হলো:

G = (A + B + C)/3

যেখানে G হলো পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং A, B, C হলো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক।

উদাহরণস্বরূপ, যদি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো (1, 2), (3, 4) এবং (5, 6) হয়, তাহলে পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে:

G = ((1 + 3 + 5)/3, (2 + 4 + 6)/3) = (3, 4)

তাই, এই ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হলো (3, 4)।

উদাহরণ

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হলো সেই বিন্দু যেখানে ত্রিভুজের তিনটি সমান্তরাল মাধ্যিকা ছেদ করে। যেকোনো ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের সূত্রটি নিম্নরূপ:

ধরি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি A, B, এবং C। তাহলে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র G নিম্নরূপে নির্ণয় করা যায়:

G = (A + B + C) / 3

এখানে, A, B, এবং C হলো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক (x, y)।

যেমন, ধরি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি A(2, 3), B(5, 6), এবং C(7, 2)। তাহলে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র G নির্ণয় করা যায় নিম্নরূপ:

G = [(2, 3) + (5, 6) + (7, 2)] / 3
= (14, 11) / 3
= (4.67, 3.67)

তাই, ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হলো (4.67, 3.67)।

অন্যান্য পদ্ধতি

এছাড়াও, ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের আরও কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। একটি পদ্ধতিতে ত্রিভুজের দুটি উচ্চতা বা তিনটি অঙ্কন করা হয় যা একটি বিন্দুতে মিলিত হয়। এই বিন্দুটিই ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র। আরেকটি পদ্ধতিতে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী লাইনগুলি নির্ণয় করা হয় যা একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।

সারাংশ

এছাড়াও, ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয়ের আরও কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। একটি পদ্ধতিতে ত্রিভুজের দুটি উচ্চতা বা তিনটি অঙ্কন করা হয় যা একটি বিন্দুতে মিলিত হয়। এই বিন্দুটিই ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র। আরেকটি পদ্ধতিতে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী লাইনগুলি নির্ণয় করা হয় যা একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।